2.34平面与平面垂直的性质教案

2.3.4 平面与平面垂直的性质

刘淑芳

教学目标

知识与技能目标:

①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定,使学生理解和掌握面面垂直的性质定理.

②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题, 应用定理解决相关问题.进一步培养学生空间观念.

过程与方法目标:

①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.

②通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 培养学生逻辑推理能力.

③发展学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新的精神. 情感、态度与价值观目标:

①学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新精神. ②让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣.

教学重点、难点：

重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导. 难点：运用性质定理解决实际问题.

教学过程 一、复习回顾

2、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

1、面面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

二、引入新课

思考1.(情境导入)

教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

思考2.(事例导入)

是否可以得到b？ 图1

如图1,,平面,,由可以得到b,

【设计意图】通过简单小实验,在复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例.通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到：垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引

入新课题的同时让学生经历数学发现的过程.

三、探究新知

如图2,设,

l,.观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?

 1

b

l



图2 当平面内直线b满足什么条件时,b

【设计意图】通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到:垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引入新课题的同时让学生经历数学发现的过程.

（1）创设情境:将面面垂直的判定定理的条件和结论互换,得到的新命题是否还成立.

结合黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！ （2）探索新知:

由前面小实验,让学生体会由特殊到一般的数学思想,并总结出直观结论:

面面垂直的性质定理:

两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

,lbb符号语言表述

bl

注:1学习自然语言转化为数学语言:符号化.

2、揭示定理的内涵:在面内作交线的垂线,体现“平 面化”的数学思想.

我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明,这种互相转换的证明方法是常用的数学思

想方法.

练习:已知,l,判断下列命题的正误

(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）

(3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于平面β（ ）

【设计意图】以小练习的方式,加深学生对性质定理中条件的认识,进一步强调学习中必须注意

细节,培养学生养成细致观察的良好学习习惯.

2

两平面垂直的性质定理应注意：

定理的条件有：平面垂直,线在面内,线垂直交线.

下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理,也即课本72页思考.

设平面

【设计意图】猜想的结论需要严格的数学证明,教会学生怎样分析条件和结论,找出关键点,解决问题.

这是面面垂直的另一个性质,它的作用是判定直线在平面内.

用语言叙述就是：如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.

平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线a,求

证：直线a平面.

四、理解新知

1.平面与平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

2.平面和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：

五、运用新知

例1. 如图4,已知平面,,,直线a满足a,a,试判断直线a与平面的位置关系.

在α内作直线b⊥l lbb又aa//bbl

3

ba//a

【设计意图】由实际问题提炼出的数学知识,需要经过严格的证明才能成为规律,通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力.

五、课堂练习：（课本73页练习）

1.下列命题中错误的是（ A ） ．．

(A) 如果平面⊥平面,那么平面内所有直线垂直于平面. (B) 如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面. (C) 如果平面不垂直平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面. (D) 如果平面⊥平面,平面⊥平面,2.已知两个平面垂直,下列命题：

① 一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.

④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ B ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

3：如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB

l,那么l.

P A C

B

【设计意图】选取来自教材的两个小题,及一个证明题.来检测学生对面面垂直性质定理的理解程度和应用情况,锻炼面面垂直性质定理的熟练应用,对空间垂直关系有更加深刻的认识,本小块呈现的方式是学生选炸弹图片来解题,既引起学生的兴趣,又起到锻炼的效果.

六、课堂小结

1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 2、证明线面垂直的两种方法：

线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直

3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法.

【设计意图】系统化总结空间垂直关系,也使学生对知识形成良好的知识网络.加深认识“线面位置关系同面面位置关系相互转化”是解决空间图形问题重要的思想方法.

4

七、布置作业 必做题：

课本73页习题2.3 A组2、5

选做题：

如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明. (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.

P C A

B

O

(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC平面ABC ∴BC⊥平面PAC

(2)又∵ BC平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC

【设计意图】面向全体学生,夯实基础,面向学有余力的学生,能力提升继续练习“直观感知—操作确认—推理证明”的学习方法,进一步提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力.

5