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多元变量函数,泰勒如何展开?(泰勒展开)

发布网友 发布时间:2024-10-24 16:49

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热心网友 时间:1天前


多元变量函数的泰勒展开并非简单地沿用一元函数的模式,它需要特别处理。小笔记将带您了解多元泰勒展开的细节。


Part I: 多元泰勒展开的特性和形式


当考虑多元函数[公式] 在[公式]点的[公式]阶展开时,零阶展开为:


一阶展开则带有一个[公式]因子,形式为:


值得注意,这里的积分是从零到一,且一阶展开中的因子是多元变量特有的。


Part II: 推导策略和关键思路


推导多元泰勒展开的核心是将多元函数转化为一元函数。例如,通过构造[公式],可以看出[公式]是[公式]的函数,从而将多元问题转化为一元问题求解。如一元函数[公式]的泰勒展开,可以应用于多元函数的相应部分。


Part III: 证明过程


通过构造一元化函数,对[公式]求导,利用链式法则,证明了多元函数的零阶和一阶泰勒展开。零阶展开证明如下:


一阶展开的证明则基于类似步骤:


参考资料和结语:


尽管部分内容可能来自他人的总结,但这个笔记旨在帮助理解多元泰勒展开。希望对学习非凸优化的朋友有所帮助。最后,祝大家圣诞快乐,记得知识的力量,不妨为内容点赞支持。


作者@未名,更多内容可在非凸优化学习之路专栏中查看,包括:



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