对称多项式对称多项式基本定理

发布网友 发布时间：2024-10-24 18:11

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热心网友 时间：2024-10-25 01:52

对称多项式基本定理表述的是：在一组变量x1, x2, ..., xn中，对称多项式g(x1, x2, ..., xn)可以被表示为σ1, σ2, ..., σn的n元多项式h(x1, x2, ..., xn)。其中σi是f(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xn)展开式中的系数。

定理的证明思路为：对g(x)各项进行字典排序，表示为g(x1,x2,..xn)=Σx1^r1i*x2^r2i...xn^rni。定义q(x1,x2..xn)=σ1^r11-r21*σ2^r21-r31...σn^rn1。显然，g(x1,x2,...xn)-q(x1,x2,...xn)的字典序降一。利用归纳法，可以证明定理成立。

举例说明：假设我们有三个变量x1, x2, x3，且g(x1,x2,x3) = x1^2*x2 + x2^2*x3 + x3^2*x1。根据定理，我们可以将其表示为σ1=Σxi，σ2=Σxixj（i≠j），σ3=x1x2x3的多项式h(x1, x2, x3)。通过计算，可以发现g(x1,x2,x3)-q(x1,x2,x3)的字典序降一，从而证明定理。

对称多项式基本定理在代数和数学分析中具有重要应用，如在求解多项式方程、研究对称性以及对多项式展开式系数进行变换时提供便利。通过将复杂对称多项式问题转化为更为简单的σ1, σ2, ..., σn的问题，这一定理简化了许多数学问题的解决过程。

一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。如x2+y2+z2 xy+yz+zx 1*X 2*B+4都是关于元x、y、z的对称多项式。 （只要是由加号或乘号连接的都是多元多项式） (A-B)2次方也是 对称式的因式分解